前言
在電磁學(一)中，我們對靜電場以及靜磁場的散度(divergence)及旋度(curl)有以下的假設：
$$ \begin{cases} \vec{\nabla} \cdot \vec{D} = {\rho } \\ \vec{\nabla} \times \vec{E} = 0 \end{cases} \begin{cases} \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 \\ \vec{\nabla} \times \vec{H} = \vec{J} \end{cases}$$
其中
對於 electric properties 有線性、等向性的材料 $\vec{D} = \epsilon \vec{E} $
對於 magnetic properties 有線性、等向性的材料 $\vec{H} = {\vec{B} \over \mu }$
(如果沒有特別說明，一般都是假設材料有以上性質)
(小語) 可以觀察，雖然靜電場可以在介質中形成電流 ($\vec{J} = \sigma \vec{E}$) 並且產生磁場；但是反過來，靜磁場並不能產生電場。非時變情況下，電場只和電荷及電位分布有關
不過，以上都是假設電場跟磁場不會隨著時間變化。那假如電場、磁場都是 time varying 呢？
修正一：馬克士威-法拉第方程式
微觀的馬克士威-法拉第方程式 $$\vec{\nabla} \times \vec{E} = -{ \partial \vec{B} \over \partial t}$$ (小語) 此方程式和之前學過的$\vec{\nabla} \times \vec{E} = 0$不同。從這條方程式可以注意到，如果$-{ \partial \vec{B} \over \partial t}$不為零，$\vec{\nabla} \times \vec{E}$就無法寫成$\vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} V)$的形式，即是說此時產生的電場不為保守場並且無法形成scalar potential(電位) (不懂的可以複習一下 Two Null's Identity)
同時對等式左右兩邊做面積分，得到$\int_S (\vec{\nabla} \times \vec{E}) \cdot d\vec{s} = -\int_S { \partial \vec{B} \over \partial t } \cdot d\vec{s}$。運用 Stoke's Theorem ，則可以得到馬克士威-法拉第方程式的積分形式：($S$為任意曲面，$C$為該曲面邊緣之閉迴路。閉迴路沒有線圈也沒關係，在空間中也可以) $$\oint_C \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\int_S { \partial \vec{B} \over \partial t } \cdot d\vec{s}$$ 假設曲面邊緣之閉迴路位置不隨時間改變，則上式才可以寫成 $$\oint_C \vec{E} \cdot d\vec{l} = - { d \over dt } \int_S \vec{B} \cdot d\vec{s} = - {d\displaystyle \Phi_{B} \over dt}, where \displaystyle \Phi_{B} = \int_S \vec{B} \cdot d\vec{s}$$
此式和法拉第定律$\mathcal {E}= - {d\displaystyle \Phi_{B} \over dt}$極為相近 (在這裡我們統一將「法拉第定律」和「馬克士威-法拉第方程式」視為不同的公式！！) 。$\mathcal {E}$代表電動勢(electromagnetic force, emf)，定義為單位電荷 經過該電動勢源時 所得到的能量
不過法拉第定律中的$\mathcal {E}$可以分為感生電動勢$(-\int_S { \partial \vec{B} \over \partial t } \cdot d\vec{s} $ ，即是只考慮閉迴路不動情況下 磁場變化所貢獻的電動勢$)$及 動生電動勢$( \oint_C ( \vec{u} \times \vec{B} ) \cdot d\vec{l} $ ，即實體線圈運動所貢獻的電動勢 $)$兩種： $$\mathcal {E} = -\int_S { \partial \vec{B} \over \partial t } \cdot d\vec{s} + \oint_C ( \vec{u} \times \vec{B} ) \cdot d\vec{l} $$
首先我們需要先建立一個觀念。只要問題與磁通量有關，最保守的方式是從勞倫茲力及微觀的馬克士威-法拉第兩條方程式出發
以下引用一段費曼大師的話：
以下兩個基本定律永遠會給出正確的物理 $$\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$$ $$\vec{\nabla} \times \vec{E} = -{ \partial \vec{B} \over \partial t}$$ — 理查·費曼 《費曼物理學講義》
假設閉迴路 $C(t)$ 相對於觀察者以速度 $\vec{u}$ 移動，且閉迴路內部有一電荷 $q$ 以相對於閉迴路速度 $\vec{v}$ 運動於閉迴路，則電荷以相對於觀察者以速度 $\vec{w}$ 運動：
$$\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$$
並且這電荷 $q$ 會感受到勞侖茲力
$$\vec{F}_{lorentz} = q(\vec{E} + \vec{w} \times \vec{B})$$
我們可以看為，該電荷僅受一「等效電場」 $\vec{E}_{lorentz}$ 作用並所受的力可寫為 $\vec{F}_{lorentz} = q(\vec{E} + \vec{w} \times \vec{B}) = q\vec{E}_{lorentz}$ 。由電動勢定義我們可得 $\mathcal {E}$ 為
$$\mathcal{E} = \oint_{C(t)}{ {\vec{F}_{lorentz} \over q} \cdot \vec{dl} } = \oint_{C(t)}{ {q \vec{E}_{lorentz} \over q} \cdot \vec{dl} } = \oint_{C(t)}{ (\vec{E} + \vec{w} \times \vec{B}) \cdot \vec{dl} }$$
$$ = \oint_{C(t)}{ \vec{E} \cdot \vec{dl} } + \oint_{C(t)}{ ((\vec{u}+\vec{v}) \times \vec{B}) \cdot \vec{dl} } = \oint_{C(t)}{ \vec{E} \cdot \vec{dl} } + \oint_{C(t)}{ (\vec{u} \times \vec{B}) \cdot \vec{dl} } + \oint_{C(t)}{ (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot \vec{dl} }$$
$\oint_{C(t)}{ \vec{E} \cdot \vec{dl} }$ 可由 Stoke's Theorem 寫成 $\int_{S(t)}{ (\vec{\nabla} \times \vec{E}) \cdot \vec{ds}}$ 並等於 $\int_{S(t)}{ -{ \partial \vec{B} \over \partial t} \cdot \vec{ds}}$ ；另外 $\oint_{C(t)}{ (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot \vec{dl} }$ 項因 $\vec{v}, \vec{dl}$ 平行，所以為0 ( $(\vec{v} \times \vec{B}) \cdot \vec{dl}$ 可看成 $\vec{v}, \vec{B}, \vec{dl}$ 所形成之平行六面體體積)
整理後得 $$\mathcal{E} = \oint_C{ \vec{E}_{lorentz} \cdot \vec{dl} } = -\int_S { \partial \vec{B} \over \partial t } \cdot d\vec{s} + \oint_C ( \vec{u} \times \vec{B} ) \cdot d\vec{l} $$ 其中 $C$, $S$ 都是時間 $t$ 的函數
接著我們引用課本對移動線圈磁通量 純粹數學上的運算：
(同一張圖再放一次XD)
$${ d \displaystyle \Phi_{B} \over dt} = {d \over dt} \int_S \vec{B} \cdot d\vec{s}$$
$$ = \lim_{\vartriangle t \to 0} {1 \over \vartriangle t} [\int_{S_2} \vec{B}(t+\vartriangle t) \cdot d\vec{s_2} - \int_{S_1} \vec{B}(t) \cdot d\vec{s_1}] $$
運用泰勒展開式，$\vec{B}(t+\vartriangle t) \approx \vec{B}(t) + {\partial \vec{B}(t) \over \partial t} \vartriangle t$
$${ d \displaystyle \Phi_{B} \over dt} = \int_S {\partial \vec{B}(t) \over \partial t} \cdot ds + \lim_{\vartriangle t \to 0} {1 \over \vartriangle t} [\int_{S_2} \vec{B}(t) \cdot d\vec{s_2} - \int_{S_1} \vec{B}(t) \cdot d\vec{s_1}]$$
運用散度定理 $$\int_V \vec{\nabla} \cdot \vec{B} dv = 0 = \int_{S_2} \vec{B}(t) \cdot d\vec{s_2} - \int_{S_1} \vec{B}(t) \cdot d\vec{s_1} + \int_{SideSurface} \vec{B}(t) \cdot (d\vec{l} \times \vec{u} \vartriangle t)$$ 其中$\vec{B}(t) \cdot (d\vec{l} \times \vec{u}) $ 可再運用平行六面體體積的觀念轉成 $(\vec{u} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}$
整理上面式子後得 $${ d \displaystyle \Phi_{B} \over dt} = \int_S {\partial \vec{B}(t) \over \partial t} \cdot ds - \oint_C (\vec{u} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}$$
將紅、藍式子統合後可得： $$\mathcal{E} = \oint_C{ \vec{E}_{lorentz} \cdot \vec{dl} } = -{ d \displaystyle \Phi_{B} \over dt} = -\int_S { \partial \vec{B} \over \partial t } \cdot d\vec{s} + \oint_C ( \vec{u} \times \vec{B} ) \cdot d\vec{l} $$ 寫的洋洋灑灑，重點觀念在於推導紅色式子的部分，知道法拉第定律可以用勞倫茲力及微觀的馬克士威-法拉第兩條方程式推導出就夠了！！！
以下引用一段費曼大師的話：
以下兩個基本定律永遠會給出正確的物理 $$\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$$ $$\vec{\nabla} \times \vec{E} = -{ \partial \vec{B} \over \partial t}$$ — 理查·費曼 《費曼物理學講義》
法拉第定律公式推導
整理後得 $$\mathcal{E} = \oint_C{ \vec{E}_{lorentz} \cdot \vec{dl} } = -\int_S { \partial \vec{B} \over \partial t } \cdot d\vec{s} + \oint_C ( \vec{u} \times \vec{B} ) \cdot d\vec{l} $$ 其中 $C$, $S$ 都是時間 $t$ 的函數
接著我們引用課本對移動線圈磁通量 純粹數學上的運算：
運用散度定理 $$\int_V \vec{\nabla} \cdot \vec{B} dv = 0 = \int_{S_2} \vec{B}(t) \cdot d\vec{s_2} - \int_{S_1} \vec{B}(t) \cdot d\vec{s_1} + \int_{SideSurface} \vec{B}(t) \cdot (d\vec{l} \times \vec{u} \vartriangle t)$$ 其中$\vec{B}(t) \cdot (d\vec{l} \times \vec{u}) $ 可再運用平行六面體體積的觀念轉成 $(\vec{u} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}$
整理上面式子後得 $${ d \displaystyle \Phi_{B} \over dt} = \int_S {\partial \vec{B}(t) \over \partial t} \cdot ds - \oint_C (\vec{u} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}$$
將紅、藍式子統合後可得： $$\mathcal{E} = \oint_C{ \vec{E}_{lorentz} \cdot \vec{dl} } = -{ d \displaystyle \Phi_{B} \over dt} = -\int_S { \partial \vec{B} \over \partial t } \cdot d\vec{s} + \oint_C ( \vec{u} \times \vec{B} ) \cdot d\vec{l} $$ 寫的洋洋灑灑，重點觀念在於推導紅色式子的部分，知道法拉第定律可以用勞倫茲力及微觀的馬克士威-法拉第兩條方程式推導出就夠了！！！
現在我們快速練習一下法拉第定律。今天當題目是問"正常線圈"在磁場中的電動勢時，不管線圈會不會運動，也不管磁場會不會隨時間變化，我們都可以運用 Faraday's Law 快速的的求出解答。(一般期中考都只會這樣問)
(如果線圈"不太正常"則法拉第定律不一定適用(可以看下面的"補充")) (目前尚未編寫)
趕快來看一下例題吧
來源：Field and Wave Electromagnetics, 2nd Edition, ex7-4
$\vec{B} = \hat{a_y} B_0 \sin{\omega t}$， $t=0$ 時線圈法向量 $\hat{a_n}$ 為 $\hat{a_y}$ 方向。求線圈產生之電動勢
$$\displaystyle \Phi_{B}(t) = \vec{B}(t) \cdot \vec{S}(t) = ( B_0 \sin{\omega t} \times hw )\cos{\omega t} = {1 \over 2} B_0 \sin{2\omega t} hw $$ $$\mathcal {E} (t) = - {d\displaystyle \Phi_{B}(t) \over dt} = - B_0 \omega \cos{2 \omega t} hw$$
在時間 t 時，感生電動勢為 $$-\int_S { \partial \vec{B}(t) \over \partial t } \cdot d\vec{s}(t) = -\int_S (\hat{a_y} \omega B_0 \cos{\omega t} ) \cdot d\vec{s}(t) = - (\omega B_0 \cos{\omega t} \times hw ) \cos{\omega t} = - B_0 \omega \cos^2{\omega t} hw$$ 動生電動勢為 $$\oint_C ( \vec{u} \times \vec{B}(t) ) \cdot d\vec{l} = \int^A_B [ (\hat{a_n} {w \over 2} \omega) \times (\hat{a_y} B_0 \sin{\omega t}) ] \cdot (\hat{a_x} dx) + \int^C_D [ (-\hat{a_n} {w \over 2} \omega) \times (\hat{a_y} B_0 \sin{\omega t}) ] \cdot (\hat{a_x} dx)$$ $$ = 2[ ( {w \over 2} \omega) B_0 \sin{\omega t} ]\sin{\omega t} h = B_0 \omega \sin^2{\omega t} hw$$ 得到$\mathcal {E}$為 $$-\int_S { \partial \vec{B}(t) \over \partial t } \cdot d\vec{s}(t) + \oint_C ( \vec{u} \times \vec{B}(t) ) \cdot d\vec{l} = - B_0 \omega (\cos^2{\omega t}-\sin^2{\omega t}) hw = - B_0 \omega \cos{2 \omega t} hw$$
1. 需要注意一下運用法二時，在作環狀積分的方向和線圈的方向須滿足右手定則關係
2. 另外可以注意一下，假如運用法二時 我們將觀測者放在 x 軸並讓觀測者和線圈一起等角速度轉動時，因為$\vec{u} = 0$所以不會有動生電動勢，不過算出來的總電動勢大小還是一樣(計算過程類似法一)。同樣的，觀測者以不同的角速度移動，算出來的 感生電動勢、動生電動勢 比例都會不同，但是總電動勢都會一樣！
$\vec{B} = \hat{a_y} B_0 \sin{\omega t}$， $t=0$ 時線圈法向量 $\hat{a_n}$ 為 $\hat{a_y}$ 方向。求線圈產生之電動勢
法一：
運用$\mathcal {E}(t)= - {d\displaystyle \Phi_{B}(t) \over dt}$$$\displaystyle \Phi_{B}(t) = \vec{B}(t) \cdot \vec{S}(t) = ( B_0 \sin{\omega t} \times hw )\cos{\omega t} = {1 \over 2} B_0 \sin{2\omega t} hw $$ $$\mathcal {E} (t) = - {d\displaystyle \Phi_{B}(t) \over dt} = - B_0 \omega \cos{2 \omega t} hw$$
法二：
運用$\mathcal {E} (t) = -\int_S { \partial \vec{B}(t) \over \partial t } \cdot d\vec{s}(t) + \oint_C ( \vec{u} \times \vec{B}(t) ) \cdot d\vec{l} $在時間 t 時，感生電動勢為 $$-\int_S { \partial \vec{B}(t) \over \partial t } \cdot d\vec{s}(t) = -\int_S (\hat{a_y} \omega B_0 \cos{\omega t} ) \cdot d\vec{s}(t) = - (\omega B_0 \cos{\omega t} \times hw ) \cos{\omega t} = - B_0 \omega \cos^2{\omega t} hw$$ 動生電動勢為 $$\oint_C ( \vec{u} \times \vec{B}(t) ) \cdot d\vec{l} = \int^A_B [ (\hat{a_n} {w \over 2} \omega) \times (\hat{a_y} B_0 \sin{\omega t}) ] \cdot (\hat{a_x} dx) + \int^C_D [ (-\hat{a_n} {w \over 2} \omega) \times (\hat{a_y} B_0 \sin{\omega t}) ] \cdot (\hat{a_x} dx)$$ $$ = 2[ ( {w \over 2} \omega) B_0 \sin{\omega t} ]\sin{\omega t} h = B_0 \omega \sin^2{\omega t} hw$$ 得到$\mathcal {E}$為 $$-\int_S { \partial \vec{B}(t) \over \partial t } \cdot d\vec{s}(t) + \oint_C ( \vec{u} \times \vec{B}(t) ) \cdot d\vec{l} = - B_0 \omega (\cos^2{\omega t}-\sin^2{\omega t}) hw = - B_0 \omega \cos{2 \omega t} hw$$
1. 需要注意一下運用法二時，在作環狀積分的方向和線圈的方向須滿足右手定則關係
2. 另外可以注意一下，假如運用法二時 我們將觀測者放在 x 軸並讓觀測者和線圈一起等角速度轉動時，因為$\vec{u} = 0$所以不會有動生電動勢，不過算出來的總電動勢大小還是一樣(計算過程類似法一)。同樣的，觀測者以不同的角速度移動，算出來的 感生電動勢、動生電動勢 比例都會不同，但是總電動勢都會一樣！
1. $\mathcal {E} = -\int_S { \partial \vec{B} \over \partial t } \cdot d\vec{s} + \oint_C ( \vec{u} \times \vec{B} ) \cdot d\vec{l} $中 等式右邊的第二項說明法拉第定律可以考慮到實體線圈的運動。雖然它看起來似乎比 $\vec{\nabla} \times \vec{E}$ 的積分形式 $-\int_S { \partial \vec{B} \over \partial t } \cdot d\vec{s}$ 看起來更 general 一些，但是事實上 $\vec{\nabla} \times \vec{E}$ 才是 general case，只是考慮到線圈運動時需納入勞倫茲力公式 $\vec{F}_{lorentz} = q(\vec{E} + \vec{w} \times \vec{B})$ ，法拉第定律反而只是特定條件下的產物而已。
法拉第定律公式不適用的例子(補充)(尚未編寫)
2. 除此之外，課本中寫道 integral form of Faraday law (這裡的 Faraday Law 是指本篇文章的 Maxwell-Faraday equation) 為 $\oint_C \vec{E} \cdot d\vec{l} = - {d\displaystyle \Phi_{B} \over dt}$中的 $\vec{E}$ 乃是指等效的 $\vec{E}_{lorentz}$ ，乃將 $\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}$ 綜合考慮的結果(需冥想慢慢領悟)。
修正二、馬克士威-安培方程式
原本在非時變情況下，我們假設$\vec{\nabla} \times \vec{H} = \vec{J}$ ......
General 情況下，首先考慮 Two Null's Identity ，$\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{B})$ 必等於0，並且運用電荷守恆的公式$\vec{\nabla} \cdot \vec{J} + {\partial \rho \over \partial t} = 0$，我們得到： $$\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{B}) = 0 = \vec{\nabla} \cdot \vec{J} + {\partial \rho \over \partial t}$$ $$\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{B}) = \vec{\nabla} \cdot ( \vec{J} + {\partial \vec{D} \over \partial t} ) $$ 因在任意狀況下此式皆成立，可推得： $$\vec{\nabla} \times \vec{B} \propto \vec{J} + {\partial \vec{D} \over \partial t} $$ 經過實驗可得馬克士威-安培方程式的微觀形式： $$\vec{\nabla} \times \vec{H} = \vec{J} + {\partial \vec{D} \over \partial t} $$
其積分形式為 $$\oint_c \vec{H} \cdot \vec{dl} = \int_S (\vec{J} + {\partial \vec{D} \over \partial t}) \cdot \vec{ds} = I + \int_S {\partial \vec{D} \over \partial t} \cdot \vec{ds}$$ 我們稱$\int_S {\partial \vec{D} \over \partial t} \cdot \vec{ds}$為位移電流 $I_D$
一電路由理想導線、實心圓柱狀電阻、交流電源三部分組成。電阻長為$L$，半徑為$R$，電阻率為$\rho$，介電系數為$\epsilon$；交流電壓$V=V_0 \sin{\omega t}$。求電阻表面之磁場強度大小
運用馬克士威-安培方程式的積分形式：
$$\oint_c \vec{H} \cdot \vec{dl} = I + I_D$$
$$ \lvert \vec{H} \rvert 2 \pi R = {V_0 \sin{\omega t} \over {\rho L \over \pi R^2}} + {\partial \lvert \vec{D} \rvert \over \partial t} \pi R^2$$
where
$${\partial \lvert \vec{D} \rvert \over \partial t} = {\partial \epsilon \lvert \vec{E} \rvert \over \partial t} = {\partial \epsilon {V \over L} \over \partial t} = {\epsilon \over l} \omega V_0 \cos{\omega t}$$
Hence,
$$ \lvert \vec{H} \rvert = {1 \over 2 \pi R} {V_0 \sin{\omega t} \over {\rho L \over \pi R^2}} + {\epsilon \over L} \omega V_0 \cos{\omega t} \cdot \pi R^2 $$
$$ = {R \over 2} \cdot {V_0 \over L} ( {\sin{\omega t} \over \rho } + \epsilon \omega \cos{\omega t})$$
需要注意的是，導線上的 $I+I_D$和 電阻上的 $I+I_D$ 是一樣的！
這是因為在$\oint_c \vec{H} \cdot \vec{dl} = \int_S (\vec{J} + {\partial \vec{D} \over \partial t}) \cdot \vec{ds}$ 的公式中，等式右邊的曲面積分 在 其邊緣之閉迴路相同 的情況下，曲面形狀是可以任意的
電阻內的$I$和$I_D$就不贅述： $$\begin{cases} I = \pi R^2 \cdot {V_0 \over L} {\sin{\omega t} \over \rho } \\ I_D = \pi R^2 \cdot {V_0 \over L} \epsilon \omega \cos{\omega t} \end{cases}$$ 然而 在導線上 因為$\lvert \vec{E} \rvert = 0$，所以$I_D = 0$ $$\begin{cases} I = \pi R^2 \cdot {V_0 \over L} ( {\sin{\omega t} \over \rho } + \epsilon \omega \cos{\omega t}) \\ I_D = 0 \end{cases}$$ 這時我們發現，導線上的電流竟然不只是單單的 $V \over R$ 那麼簡單！
原因是因為此時的電阻是有截面積、長度的，在交流電的作用下，它除了電阻外還會有一些電容的性質
可以看為理想電阻與理想電容的並聯：
電阻內的$I$和$I_D$就不贅述： $$\begin{cases} I = \pi R^2 \cdot {V_0 \over L} {\sin{\omega t} \over \rho } \\ I_D = \pi R^2 \cdot {V_0 \over L} \epsilon \omega \cos{\omega t} \end{cases}$$ 然而 在導線上 因為$\lvert \vec{E} \rvert = 0$，所以$I_D = 0$ $$\begin{cases} I = \pi R^2 \cdot {V_0 \over L} ( {\sin{\omega t} \over \rho } + \epsilon \omega \cos{\omega t}) \\ I_D = 0 \end{cases}$$ 這時我們發現，導線上的電流竟然不只是單單的 $V \over R$ 那麼簡單！
可以看為理想電阻與理想電容的並聯：
公式整理
馬克士威方程組： $$ \begin{array}{l|l|l} \text{Differential Form}&\text{Integral Form}&\text{Significance}\\ \vec{\nabla} \cdot \vec{D} = {\rho } & \oint_S \vec{D} \cdot \vec{ds} = Q & \text{Gauss's Law}\\ \vec{\nabla} \times \vec{E} = -{ \partial \vec{B} \over \partial t} & \oint_C \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\int_S { \partial \vec{B} \over \partial t } \cdot d\vec{s} & \text{Maxwell-Faraday}\\ \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 & \oint_S \vec{B} \cdot \vec{ds} = 0 & \text{No isolated magnetic charge} \\ \vec{\nabla} \times \vec{H} = \vec{J} + {\partial \vec{D} \over \partial t} & \oint_c \vec{H} \cdot \vec{dl} = I + \int_S {\partial \vec{D} \over \partial t} \cdot \vec{ds} & \text{Maxwell-Ampere} \end{array} $$ 法拉第定律： $$\mathcal{E} = \oint_C{ \vec{E}_{lorentz} \cdot \vec{dl} } = -{ d \displaystyle \Phi_{B} \over dt} = -\int_S { \partial \vec{B} \over \partial t } \cdot d\vec{s} + \oint_C ( \vec{u} \times \vec{B} ) \cdot d\vec{l} $$
參考資料
Field and Wave Electromagnetics, 2nd Edition
維基百科 - 法拉第電磁感應定律
維基百科 - 電動勢
維基百科 - 法拉第弔詭
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